बताइए कि निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन सत्य है या असत्य:
$(1)$ $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। यदि $AB = 12 \text{ cm}$ और $BC = 5 \text{ cm}$ है,तो $AC = 13 \text{ cm}$ होगा।
$(2)$ $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है। यदि $AB \parallel CD$ और $AB = 10 \text{ cm}$ है,तो $CD = 10 \text{ cm}$ होगा।

(A) $(1)$ असत्य। समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,भुजाएँ $AB$ और $BC$ आसन्न भुजाएँ हैं। विकर्ण $AC$ एक त्रिभुज $ABC$ बनाता है। त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए। यहाँ,$AB + BC = 12 + 5 = 17 \text{ cm}$,जो $AC = 13 \text{ cm}$ से अधिक है। हालाँकि,ऐसी कोई शर्त नहीं है कि $ABCD$ एक आयत ही हो। यदि यह एक आयत होता,तो $AC = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13 \text{ cm}$ होता। चूँकि यह केवल एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए कोण $\angle B$ के आधार पर $AC$ का मान अलग-अलग हो सकता है। अतः,यह कथन सार्वभौमिक रूप से सत्य नहीं है।
$(2)$ असत्य। एक समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में जहाँ $AB \parallel CD$ है,समांतर भुजाओं (आधारों) का बराबर होना आवश्यक नहीं है। यदि समांतर भुजाएँ बराबर होतीं,तो वह एक समांतर चतुर्भुज बन जाता,न कि केवल एक समलंब चतुर्भुज।