alpha के सभी भिन्न पूर्णांक मानों का योग ज्ञा | vedclass

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Question

(B) द्विघात समीकरण $x^2 - \alpha x + \alpha + 1 = 0$ के मूल पूर्णांक होने के लिए,इसका विविक्तकर (discriminant) $D$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।$D = \alph

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$4$

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(B) द्विघात समीकरण $x^2 - \alpha x + \alpha + 1 = 0$ के मूल पूर्णांक होने के लिए,इसका विविक्तकर (discriminant) $D$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।$D = \alpha^2 - 4(1)(\alpha + 1) = \alpha^2 - 4\alpha - 4$.माना $D = k^2$,जहाँ $k$ एक अऋणात्मक पूर्णांक है।$\alpha^2 - 4\alpha - 4 = k^2$$(\alpha^2 - 4\alpha + 4) - 8 = k^2$$(\alpha - 2)^2 - k^2 = 8$$(\alpha - 2 - k)(\alpha - 2 + k) = 8$.चूँकि $8$ दो पूर्णांकों का गुणनफल है,हम $8$ के गुणनखंडों पर विचार करते हैं: $(1, 8), (2, 4), (-1, -8), (-2, -4)$.स्थिति $1$: $\alpha - 2 - k = 2$ और $\alpha - 2 + k = 4$. जोड़ने पर $2(\alpha - 2) = 6 \Rightarrow \alpha - 2 = 3 \Rightarrow \alpha = 5$.स्थिति $2$: $\alpha - 2 - k = -4$ और $\alpha - 2 + k = -2$. जोड़ने पर $2(\alpha - 2) = -6 \Rightarrow \alpha - 2 = -3 \Rightarrow \alpha = -1$.अतः,$\alpha$ के भिन्न पूर्णांक मान $5$ और $-1$ हैं।इन मानों का योग $5 + (-1) = 4$ है।

$\alpha$ के सभी भिन्न पूर्णांक मानों का योग ज्ञात कीजिए ताकि समीकरण $x^2 - \alpha x + \alpha + 1 = 0$ के मूल पूर्णांक हों।

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