मान लीजिए left| begin{array}{cc} f'(x) & f(x) | vedclass

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Question

(B) दिया गया सारणिक: $\left| \begin{array}{cc} f'(x) & f(x) \ f''(x) & f'(x) \end{array} ight| = 0$इसका अर्थ है $(f'(x))^2 - f(x)f''(x) = 0$.$(f'(x

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$1$

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(B) दिया गया सारणिक: $\left| \begin{array}{cc} f'(x) & f(x) \ f''(x) & f'(x) \end{array} ight| = 0$इसका अर्थ है $(f'(x))^2 - f(x)f''(x) = 0$.$(f'(x))^2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{f'(x)f'(x) - f(x)f''(x)}{(f'(x))^2} = 0$,जो भागफल नियम के अनुसार $\frac{f(x)}{f'(x)}$ का अवकलज है।अतः,$\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{f'(x)} ight) = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{f(x)}{f'(x)} = C$ (एक स्थिरांक)।प्रारंभिक शर्तों $f(0) = 1$ और $f'(0) = 2$ का उपयोग करने पर,हमें $C = \frac{f(0)}{f'(0)} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।इसलिए,$\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln|f(x)| = 2x + k$। चूँकि $f(0) = 1$,इसलिए $k = 0$,अतः $f(x) = e^{2x}$।हमें $e^{2x} = x^2$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।मान लीजिए $g(x) = e^{2x} - x^2$। $g'(x) = 2e^{2x} - 2x = 2(e^{2x} - x)$। सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{2x} > x$ होता है,इसलिए $g'(x) > 0$,अतः $g(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।जब $x 	o -\infty$,तब $g(x) 	o \infty$। जब $x 	o 0$,तब $g(0) = 1$। जब $x 	o -\infty$,तब $e^{2x} 	o 0$ और $x^2 	o \infty$। इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,यहाँ केवल एक हल मौजूद है।

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मान लीजिए $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x^3 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right|$ है। तो $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{vmatrix} 2 \cos^4 x & 2 \sin^4 x & 3 + \sin^2 2x \\ 3 + 2 \cos^4 x & 2 \sin^4 x & \sin^2 2x \\ 2 \cos^4 x & 3 + 2 \sin^4 x & \sin^2 2x \end{vmatrix}$ है,तो $\frac{1}{5} f'(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} a^2 & a & 1 \\ \cos(nx) & \cos(n+1)x & \cos(n+2)x \\ \sin(nx) & \sin(n+1)x & \sin(n+2)x \end{array} \right|$ का मान किससे स्वतंत्र है?

सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} ^x{C_1} & ^x{C_2} & ^x{C_3} \\ ^y{C_1} & ^y{C_2} & ^y{C_3} \\ ^z{C_1} & ^z{C_2} & ^z{C_3} \end{array} \right|$ का मान क्या है?

आव्यूह $\begin{bmatrix} 4 & 2 & 1-x \\ 5 & k & 1 \\ 6 & 3 & 1+x \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) $1$ है,तो

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