मान लीजिए कि f,[a, b] पर सतत है और [a, b] में | vedclass

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Question

(D) व्याख्या: मान लीजिए कि $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in [a, b]$ के लिए $f(x) \in \mathbb{Z}$ है।मध्यवर्ती मान प्रमे

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$f(x)$ अचर है

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(D) व्याख्या: मान लीजिए कि $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in [a, b]$ के लिए $f(x) \in \mathbb{Z}$ है।मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,यदि $f$,$[a, b]$ पर सतत है,तो $f$ को $f(a)$ और $f(b)$ के बीच के सभी मानों को ग्रहण करना चाहिए।मान लीजिए कि $f$ अचर नहीं है। तो $[a, b]$ में ऐसे $x_1, x_2$ मौजूद हैं कि $f(x_1) = n$ और $f(x_2) = m$ जहाँ $n 
eq m$ है। बिना किसी हानि के,मान लीजिए कि $n चूंकि $f$ सतत है,इसलिए $n हालाँकि,हमें दिया गया है कि $[a, b]$ में प्रत्येक $x$ के लिए $f(x)$ एक पूर्णांक है।यदि हम $y = n + 0.5$ लेते हैं,जो कि पूर्णांक नहीं है,तो यह इस शर्त का खंडन करता है कि $f(x)$ एक पूर्णांक होना चाहिए।इसलिए,यह धारणा कि $f$ अचर नहीं है,गलत है।अतः,$f(x)$ एक अचर फलन होना चाहिए।

मान लीजिए कि $f$,$[a, b]$ पर सतत है और $[a, b]$ में प्रत्येक $x$ के लिए $f(x)$ एक पूर्णांक है। तो $[a, b]$ में

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फलन $f$ की सांतत्यता की जाँच कीजिए,जहाँ $f(x) = \begin{cases} \sin x - \cos x, & \text{यदि } x \neq 0 \\ -1, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है।

मान लीजिए $f(x)$ एक वास्तविक मान वाला फलन है। यदि सभी $x \in R$ के लिए $f^{\prime}(x)$ एक स्थिरांक है,$f(0)=2$ और $f^{\prime}(0)=1$ है,तो

यदि $f(x) = |x - b|,$ है,तो फलन:

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1}, & x \ne 1 \\ k, & x = 1 \end{cases}$ बिंदु $x = 1$ पर सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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