रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के बीच का कोण $\theta$ है:

सिद्ध कीजिए कि दो रेखाएँ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$,जहाँ $b_{1}, b_{2} \neq 0$,लंबवत हैं यदि $a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} = 0$ हो।

बिंदु $(3, -2)$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा $L$,रेखा $\sqrt{3}x + y = 1$ के साथ $60^o$ का कोण बनाती है। यदि $L$,$x$-अक्ष को भी प्रतिच्छेद करती है,तो $L$ का समीकरण क्या है?

बिंदु $(3,-2)$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा $L$,रेखा $\sqrt{3} x+y=1$ के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती है। यदि $L$,$X$-अक्ष को भी काटती है,तो $L$ का समीकरण क्या है?

मान लीजिए $\theta_1$ दो रेखाओं $2x + 3y + c_1 = 0$ और $-x + 5y + c_2 = 0$ के बीच का कोण है और $\theta_2$ दो रेखाओं $2x + 3y + c_1 = 0$ और $-x + 5y + c_3 = 0$ के बीच का कोण है,जहाँ $c_1, c_2, c_3$ कोई भी वास्तविक संख्याएँ हैं।
कथन-$1$: यदि $c_2$ और $c_3$ समानुपाती हैं,तो $\theta_1 = \theta_2$ है।
कथन-$2$: सभी $c_2$ और $c_3$ के लिए $\theta_1 = \theta_2$ है।

यदि सरल रेखाएँ $2x + 3y - 3 = 0$ और $x + ky + 7 = 0$ लंबवत हैं,तो $k$ का मान है: