वृत्त x^2+y^2=169 के उस भाग का क्षेत्रफल (वर् | vedclass

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Question

(D) वृत्त $x^2+y^2=13^2$ है और रेखा $y=5x-13$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y$ का मान वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2+(5x-13)^2=169 \impl

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$171$

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(D) वृत्त $x^2+y^2=13^2$ है और रेखा $y=5x-13$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y$ का मान वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2+(5x-13)^2=169 \implies x^2+25x^2-130x+169=169 \implies 26x^2-130x=0 \implies 26x(x-5)=0$. अतः,$x=0$ (जिससे $y=-13$) और $x=5$ (जिससे $y=12$) प्राप्त होते हैं।रेखा $y=5x-13$ के नीचे और वृत्त के अंदर का क्षेत्रफल,वृत्त के चाप और रेखाखंड द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है। $x$ के सापेक्ष $0$ से $5$ तक समाकलन करने पर:क्षेत्रफल $= \int_{0}^{5} (\sqrt{169-x^2} - (5x-13)) dx$$= \int_{0}^{5} \sqrt{13^2-x^2} dx - \int_{0}^{5} (5x-13) dx$$= [\frac{x}{2}\sqrt{169-x^2} + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{13})]_0^5 - [\frac{5x^2}{2}-13x]_0^5$$= (\frac{5}{2}\sqrt{144} + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{5}{13})) - (\frac{125}{2}-65)$$= 30 + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{5}{13}) + \frac{5}{2} = \frac{65}{2} + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{5}{13})$.$\sin^{-1}(\frac{5}{13}) = \cos^{-1}(\frac{12}{13}) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\frac{12}{13})$ का उपयोग करने पर:क्षेत्रफल $= \frac{65}{2} + \frac{169}{2}(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\frac{12}{13})) = \frac{169\pi}{4} - \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{12}{13}) + \frac{65}{2}$.दिए गए रूप $\frac{\pi \alpha}{2 \beta}-\frac{65}{2}+\frac{\alpha}{\beta} \sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ से तुलना करने पर,$\alpha=169, \beta=2$ प्राप्त होता है। चूँकि $\gcd(169, 2)=1$,इसलिए $\alpha+\beta = 169+2 = 171$।

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