{(x, y) : y^2 leq 2x text{ और } y geq 4x - 1} | vedclass

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Question

(B) परवलय $y^2 = 2x$ और रेखा $y = 4x - 1$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।रेखा के समी

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$\frac{9}{32}$

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(B) परवलय $y^2 = 2x$ और रेखा $y = 4x - 1$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।रेखा के समीकरण $y = 4x - 1$ में $x = \frac{y^2}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:$y = 4\left(\frac{y^2}{2}ight) - 1$$y = 2y^2 - 1$$2y^2 - y - 1 = 0$$(2y + 1)(y - 1) = 0$अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $y = 1$ और $y = -\frac{1}{2}$ पर प्राप्त होते हैं।आवश्यक क्षेत्रफल $y$ के सापेक्ष रेखा और परवलय के बीच के अंतर का समाकलन करके प्राप्त किया जा सकता है:$	ext{क्षेत्रफल} = \int_{-1/2}^{1} \left( \frac{y+1}{4} - \frac{y^2}{2} ight) dy$$= \left[ \frac{y^2}{8} + \frac{y}{4} - \frac{y^3}{6} ight]_{-1/2}^{1}$$= \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} ight) - \left( \frac{1/4}{8} + \frac{-1/2}{4} - \frac{-1/8}{6} ight)$$= \left( \frac{3+6-4}{24} ight) - \left( \frac{1}{32} - \frac{1}{8} + \frac{1}{48} ight)$$= \frac{5}{24} - \left( \frac{3 - 12 + 2}{96} ight)$$= \frac{5}{24} - \left( -\frac{7}{96} ight) = \frac{20+7}{96} = \frac{27}{96} = \frac{9}{32}$ वर्ग इकाई।

$\{(x, y) : y^2 \leq 2x \text{ और } y \geq 4x - 1\}$ द्वारा वर्णित क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।

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क्षेत्र $\{(x, y): 0 \leq y \leq 2|x|+1, 0 \leq y \leq x^2+1, |x| \leq 3\}$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।

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