वक्रों y^2=4x और x^2=4y द्वारा परिबद्ध क्षेत् | vedclass

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Question

(B) दिए गए वक्र $y^2=4x$ और $x^2=4y$ हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = \frac{x^2}{4}$ को $y^2=4x$ में प्रतिस्थापित करें: $(\frac{x^2}{4})^

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$\frac{16}{3}$

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(B) दिए गए वक्र $y^2=4x$ और $x^2=4y$ हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = \frac{x^2}{4}$ को $y^2=4x$ में प्रतिस्थापित करें: $(\frac{x^2}{4})^2 = 4x \Rightarrow \frac{x^4}{16} = 4x \Rightarrow x^4 = 64x \Rightarrow x(x^3 - 64) = 0$. अतः,$x=0$ या $x=4$. जब $x=0, y=0$ और जब $x=4, y=4$. अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0,0)$ और $A(4,4)$ हैं। वांछित क्षेत्रफल $x=0$ से $x=4$ तक दोनों वक्रों के बीच का क्षेत्र है: $	ext{Area} = \int_0^4 (y_{	ext{upper}} - y_{	ext{lower}}) dx = \int_0^4 (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx$. $= \int_0^4 (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx = [2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4$. $= [\frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4 = [\frac{4}{3}(4)^{3/2} - \frac{4^3}{12}] - [0]$. $= [\frac{4}{3}(8) - \frac{64}{12}] = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} 	ext{ वर्ग इकाई}$.

वक्रों $y^2=4x$ और $x^2=4y$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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