x = 0 और x = 4pi रेखाओं के बीच वक्र y = x |si | vedclass

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Question

(D) क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{4\pi} x |\sin(\frac{x}{2})| dx$ द्वारा दिया जाता है।चूँकि $x \in [0, 2\pi]$ के लिए $\sin(\frac{x}{2}) \ge 0$ और $x \in [2

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(D) क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{4\pi} x |\sin(\frac{x}{2})| dx$ द्वारा दिया जाता है।चूँकि $x \in [0, 2\pi]$ के लिए $\sin(\frac{x}{2}) \ge 0$ और $x \in [2\pi, 4\pi]$ के लिए $\sin(\frac{x}{2}) \le 0$ है, इसलिए:$A = \int_{0}^{2\pi} x \sin(\frac{x}{2}) dx + \int_{2\pi}^{4\pi} x (-\sin(\frac{x}{2})) dx$।खंडशः समाकलन $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $u=x, dv=\sin(\frac{x}{2})dx$:$\int x \sin(\frac{x}{2}) dx = -2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})$।प्रथम समाकलन का मान: $[-2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})]_{0}^{2\pi} = (-2(2\pi)(-1) + 0) - (0) = 4\pi$।द्वितीय समाकलन का मान: $-[-2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})]_{2\pi}^{4\pi} = -[(-2(4\pi)(1) + 0) - (-2(2\pi)(-1) + 0)] = -[-8\pi - 4\pi] = 12\pi$।कुल क्षेत्रफल $A = 4\pi + 12\pi = 16\pi$।

$x = 0$ और $x = 4\pi$ रेखाओं के बीच वक्र $y = x |\sin(\frac{x}{2})|$ और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है: ($\pi$ में)

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