वक्रों y=x^{2} और x=y^{2} द्वारा परिबद्ध क्षे | vedclass

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Question

(A) दिए गए वक्र $y=x^{2}$ और $x=y^{2}$ हैं, जो परवलय हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, $y=x^{2}$ को $x=y^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर:$x=(x^{2

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(A) दिए गए वक्र $y=x^{2}$ और $x=y^{2}$ हैं, जो परवलय हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, $y=x^{2}$ को $x=y^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर:$x=(x^{2})^{2}$$x=x^{4}$$x^{4}-x=0$$x(x^{3}-1)=0$$x(x-1)(x^{2}+x+1)=0$चूंकि $x^{2}+x+1=0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है, इसलिए $x=0$ और $x=1$ प्राप्त होते हैं।जब $x=0$, तब $y=0$। जब $x=1$, तब $y=1$।अतः, प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने पर प्राप्त होता है:$	ext{Area} = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{2}) \, dx$$= \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{3}}{3} ight]_{0}^{1}$$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^{3} ight]_{0}^{1}$$= (\frac{2}{3}(1) - \frac{1}{3}(1)) - (0 - 0)$$= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} 	ext{ वर्ग इकाई}$.

वक्रों $y=x^{2}$ और $x=y^{2}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है

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वक्र $y = 5 \sin x$,$X$-अक्ष और रेखाओं $x = 0$ तथा $x = \frac{\pi}{2}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल . . . . . . वर्ग इकाई है।

$x = 0$ और $x = 4$ के बीच वक्र $y = \sqrt{3x + 4}$ के अंतर्गत क्षेत्रफल क्या है?

वक्र $y=x|x|$,$x$-अक्ष और कोटियों $x=-1$ तथा $x=1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए [संकेत: यदि $x>0$ तो $y=x^{2}$ और यदि $x < 0$ तो $y=-x^{2}$].

वक्र $x(x^2 + p) = y - 1$ और रेखा $y = 1$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल क्या है?

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