परवलयों {y^2 = 4x} और {x^2 = 4y} के बीच घिरा | vedclass

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Question

(D) दिए गए समीकरण ${y^2 = 4x}$ और ${x^2 = 4y}$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,${y = \frac{x^2}{4}}$ को ${y^2 = 4x}$ में प्रतिस्थापित करने पर:

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$\frac{16}{3} 	ext{ वर्ग इकाई}$

Vedclass · Answer

(D) दिए गए समीकरण ${y^2 = 4x}$ और ${x^2 = 4y}$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,${y = \frac{x^2}{4}}$ को ${y^2 = 4x}$ में प्रतिस्थापित करने पर:$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x \implies \frac{x^4}{16} = 4x \implies x^4 = 64x \implies x(x^3 - 64) = 0$.अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु ${x = 0}$ और ${x = 4}$ हैं।वक्रों के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:$A = \int_{0}^{4} (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) \, dx$$A = \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) \, dx$$A = [2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{12}]_{0}^{4}$$A = [\frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_{0}^{4}$$A = (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12}) - (0 - 0)$$A = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} 	ext{ वर्ग इकाई}$.

परवलयों ${y^2 = 4x}$ और ${x^2 = 4y}$ के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल क्या है?

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क्षेत्र $\{(x, y): 0 \leq y \leq 2|x|+1, 0 \leq y \leq x^2+1, |x| \leq 3\}$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।

वक्रों $x=y^2$ और $x=3-2y^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

प्रथम चतुर्थांश में वक्रों $y=x^{3}$, $y=\frac{1}{x}$ और रेखा $x=2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

वक्रों $y^{2}=2x$ और $y=x$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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