समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी आसन्न भुजाएँ $\hat{i}+\hat{k}$ और $2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं।

मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $|\vec{a}|=\sqrt{31}$,$4|\vec{b}|=|\vec{c}|=2$ और $2(\vec{a} \times \vec{b})=3(\vec{c} \times \vec{a})$ है। यदि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{2\pi}{3}$ है,तो $\left(\frac{\vec{a} \times \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}\right)^2$ का मान $............$ है।

यदि $l_1, m_1, n_1$ और $l_2, m_2, n_2$ दो लंबवत रेखाओं की दिक्-कोज्याएं (direction cosines) हैं,तो दोनों रेखाओं के लंबवत रेखा की दिक्-कोज्याएं क्या होंगी?

मान लीजिए $a, b$ और $c$ तीन समतलीय इकाई सदिश हैं। एक इकाई सदिश $d$ उनके लंबवत है। यदि $(a \times b) \times (c \times d) = \frac{3}{26} i - \frac{2}{13} j + \frac{6}{13} k$ और $a$ तथा $b$ के बीच का कोण $30^\circ$ है, तो $c$ का मान क्या होगा...

यदि $\overrightarrow{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\overrightarrow{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ और $\overrightarrow{c} = 7\hat{i} + 9\hat{j} + 11\hat{k}$ है,तो $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ विकर्णों वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

किसी भी सदिशों $a, b, c$ के लिए,व्यंजक $a \times (b + c) + b \times (c + a) + c \times (a + b) = $ का मान ज्ञात कीजिए।