क्षेत्र S = {(x, y) : y^{2} leq 8x, y geq sqr | vedclass

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Question

(B) क्षेत्र $S$,परवलय $y^{2} = 8x$ और रेखा $y = \sqrt{2}x$ द्वारा $x \geq 1$ के लिए परिबद्ध है।सबसे पहले,$y^{2} = 8x$ और $y = \sqrt{2}x$ के प्रतिच्छेद

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$\frac{11 \sqrt{2}}{6}$

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(B) क्षेत्र $S$,परवलय $y^{2} = 8x$ और रेखा $y = \sqrt{2}x$ द्वारा $x \geq 1$ के लिए परिबद्ध है।सबसे पहले,$y^{2} = 8x$ और $y = \sqrt{2}x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:$(\sqrt{2}x)^{2} = 8x \Rightarrow 2x^{2} = 8x \Rightarrow 2x(x - 4) = 0$.अतः,वक्र $x = 0$ और $x = 4$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।चूंकि क्षेत्र $x \geq 1$ के लिए परिभाषित है,इसलिए समाकलन की सीमाएं $x = 1$ से $x = 4$ तक हैं।क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:$A = \int_{1}^{4} (\sqrt{8x} - \sqrt{2}x) \, dx$$A = \int_{1}^{4} (2\sqrt{2}\sqrt{x} - \sqrt{2}x) \, dx$$A = 2\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} - \sqrt{2} \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{1}^{4}$$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} (4^{2} - 1^{2})$$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} (8 - 1) - \frac{\sqrt{2}}{2} (16 - 1)$$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} (7) - \frac{\sqrt{2}}{2} (15)$$A = \frac{28\sqrt{2}}{3} - \frac{15\sqrt{2}}{2} = \frac{56\sqrt{2} - 45\sqrt{2}}{6} = \frac{11\sqrt{2}}{6}$.

क्षेत्र $S = \{(x, y) : y^{2} \leq 8x, y \geq \sqrt{2}x, x \geq 1\}$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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