उस समतल का कार्तीय समीकरण क्या है जिसका सदिश | vedclass

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Question

(D) दिया गया सदिश समीकरण $\vec{r} = (1+\lambda-\mu) \hat{i} + (2-\lambda) \hat{j} + (3-2 \lambda+2 \mu) \hat{k}$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमे

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$2x+z=5$

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(D) दिया गया सदिश समीकरण $\vec{r} = (1+\lambda-\mu) \hat{i} + (2-\lambda) \hat{j} + (3-2 \lambda+2 \mu) \hat{k}$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) + \mu(-\hat{i} + 2\hat{k})$.यह $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} + \mu\vec{c}$ के रूप में है,जहाँ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$,और $\vec{c} = -\hat{i} + 2\hat{k}$ है।समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{b} 	imes \vec{c}$ द्वारा दिया जाता है:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & -1 & -2 \ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 0) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(0 - 1) = -2\hat{i} - \hat{k}$.समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ है,जिसका अर्थ है $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$.$\vec{a} \cdot \vec{n} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-2\hat{i} - \hat{k}) = (1)(-2) + (2)(0) + (3)(-1) = -2 - 3 = -5$.अतः,$\vec{r} \cdot (-2\hat{i} - \hat{k}) = -5$,या $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{k}) = 5$.$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{k}) = 5$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2x + z = 5$ हो जाता है।

उस समतल का कार्तीय समीकरण क्या है जिसका सदिश समीकरण $\vec{r}=(1+\lambda-\mu) \hat{i}+(2-\lambda) \hat{j}+(3-2 \lambda+2 \mu) \hat{k}$ है,जहाँ $\lambda, \mu$ अदिश हैं?

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