$(1 + x)^2 (1 + x^2)^3 (1 + x^3)^4$ के विस्तार में $x^{10}$ का गुणांक क्या है?

मान लीजिए कि $\left(\sqrt{2^{\log_2(10-3^x)}} + \sqrt[5]{2^{(x-2)\log_2 3}}\right)^m$ के द्विपद विस्तार में,$2^{(x-2)\log_2 3}$ की बढ़ती घातों में छठा पद $21$ है। यदि विस्तार में दूसरे,तीसरे और चौथे पदों के द्विपद गुणांक क्रमशः एक $A.P.$ के पहले,तीसरे और पांचवें पद हैं,तो $x$ के सभी संभावित मानों के वर्गों का योग $.........$ है।

मान लीजिए $R=(5 \sqrt{5}+11)^{2 n+1}$ और $f=R-[R]$,जहाँ $[x]$,$x$ से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है,तो $R f=$

संख्या $(512)^3 - (253)^3 - (259)^3$ के भिन्न अभाज्य विभाजकों की संख्या है

यदि $\left(1+\frac{1}{x}\right)^6\left(1+x^2\right)^7\left(1-x^3\right)^8 ; x \neq 0$ के विस्तार में $x^{30}$ का गुणांक $\alpha$ है,तो $|\alpha|$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $(7 + 4\sqrt{3})^n = p + \beta$,जहाँ $n$ और $p$ धनात्मक पूर्णांक हैं और $\beta \in (0, 1)$ है। तो $(1 - \beta)(p + \beta)$ क्या है?