(1+x)^{500} + x(1+x)^{499} + x^2(1+x)^{498} + | vedclass

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Question

(D) दी गई व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = (1+x)^{500}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{1+x}$ और पदों की संख्या $n = 501$ है।श्रेणी का योग

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$^{501}C_{200}$

Vedclass · Answer

(D) दी गई व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = (1+x)^{500}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{1+x}$ और पदों की संख्या $n = 501$ है।श्रेणी का योग $S = a \frac{1-r^n}{1-r} = (1+x)^{500} \left[ \frac{1 - (\frac{x}{1+x})^{501}}{1 - \frac{x}{1+x}} \right]$ है।व्यंजक को सरल करने पर:$S = (1+x)^{500} \left[ \frac{\frac{(1+x)^{501} - x^{501}}{(1+x)^{501}}}{\frac{1+x-x}{1+x}} \right] = (1+x)^{500} \cdot \frac{(1+x)^{501} - x^{501}}{(1+x)^{501}} \cdot (1+x) = (1+x)^{501} - x^{501}$।हमें $(1+x)^{501} - x^{501}$ में $x^{301}$ का गुणांक ज्ञात करना है।$(1+x)^{501}$ में $x^{301}$ का गुणांक $^{501}C_{301}$ है।गुणधर्म $^{n}C_{r} = ^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,$^{501}C_{301} = ^{501}C_{501-301} = ^{501}C_{200}$ प्राप्त होता है।

$(1+x)^{500} + x(1+x)^{499} + x^2(1+x)^{498} + \ldots + x^{500}$ में $x^{301}$ का गुणांक क्या है?

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