$(1 + t^2)^{12}(1 + t^{12})(1 + t^{24})$ के विस्तार में $t^{24}$ का गुणांक है

अंतराल $[1005, 2010]$ में उन प्राकृतिक संख्याओं $n$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए बहुपद $1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{n-1}$,बहुपद $1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{2010}$ को विभाजित करता है।

List-$I$ का List-$II$ के साथ सही मिलान है:

यदि $(1+x)^{n}$ के विस्तार में $C_0, C_1, C_2, \ldots, C_{n}$ द्विपद गुणांक हैं,तो $(C_0+C_1)-(C_2+C_3)+(C_4+C_5)-(C_6+C_7)+\ldots=$

यदि $1 + (2 + {}^{49}C_{1} + {}^{49}C_{2} + \dots + {}^{49}C_{49})({}^{50}C_{2} + {}^{50}C_{4} + \dots + {}^{50}C_{50})$ का मान $2^{n} \cdot m$ के बराबर है,जहाँ $m$ एक विषम संख्या है,तो $n + m$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\alpha = \sum_{r=0}^{n} (4r^2+2r+1) {}^{n}C_{r}$ और $\beta = \left(\sum_{r=0}^{n} \frac{{}^{n}C_{r}}{r+1}\right) + \frac{1}{n+1}$ है। यदि $140 < \frac{2\alpha}{\beta} < 281$ है,तो $n$ का मान ............... है।