श्रेणी ^{100}C_1 cdot 2^8 cdot (1 - x)^{99} + | vedclass

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Question

(C) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=1}^{9} {^{100}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot (1-x)^{100-r}}$ है।हमें इस व्यंजक में $x^{91}$ का गुणांक ज्ञात करना है।$(1-x)^{100

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$^{100}C_{9}(2^9 - 3^9)$

Vedclass · Answer

(C) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=1}^{9} {^{100}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot (1-x)^{100-r}}$ है।हमें इस व्यंजक में $x^{91}$ का गुणांक ज्ञात करना है।$(1-x)^{100-r}$ का विस्तार $\sum_{k=0}^{100-r} {^{100-r}C_k (-x)^k}$ के रूप में किया जा सकता है।$(1-x)^{100-r}$ में $x^{91}$ का गुणांक $^{100-r}C_{91} (-1)^{91} = -^{100-r}C_{91}$ है।अतः,श्रेणी में $x^{91}$ का गुणांक $\sum_{r=1}^{9} {^{100}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot (-^{100-r}C_{91})}$ है।सर्वसमिका $^{n}C_r \cdot ^{n-r}C_k = ^{n}C_k \cdot ^{n-k}C_r$ का उपयोग करने पर,$^{100}C_r \cdot ^{100-r}C_{91} = ^{100}C_{91} \cdot ^{100-91}C_r = ^{100}C_9 \cdot ^{9}C_r$ प्राप्त होता है।यह मान रखने पर,गुणांक $-\sum_{r=1}^{9} {^{100}C_9 \cdot ^{9}C_r \cdot 2^{9-r}} = -^{100}C_9 \sum_{r=1}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r}}$ होता है।द्विपद प्रमेय का उपयोग करने पर,$(2+1)^9 = \sum_{r=0}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot 1^r} = ^{9}C_0 \cdot 2^9 + \sum_{r=1}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r}}$।अतः,$\sum_{r=1}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r}} = 3^9 - 2^9$।इसलिए,गुणांक $-^{100}C_9 (3^9 - 2^9) = ^{100}C_9 (2^9 - 3^9)$ है।

श्रेणी $^{100}C_1 \cdot 2^8 \cdot (1 - x)^{99} + ^{100}C_2 \cdot 2^7 \cdot (1 - x)^{98} + ^{100}C_3 \cdot 2^6 \cdot (1 - x)^{97} + \dots + ^{100}C_9 \cdot (1 - x)^{91}$ में $x^{91}$ का गुणांक - है।

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