શ્રેણી ^{100}C_1 cdot 2^8 cdot (1 - x)^{99} + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{r=1}^{9} {^{100}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot (1-x)^{100-r}}$ છે.આપણે આ પદાવલિમાં $x^{91}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.$(1-x)^{100-r}$ ન

Vedclass · Accepted Answer

$^{100}C_{9}(2^9 - 3^9)$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{r=1}^{9} {^{100}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot (1-x)^{100-r}}$ છે.આપણે આ પદાવલિમાં $x^{91}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.$(1-x)^{100-r}$ નું વિસ્તરણ $\sum_{k=0}^{100-r} {^{100-r}C_k (-x)^k}$ તરીકે કરી શકાય.$(1-x)^{100-r}$ માં $x^{91}$ નો સહગુણક $^{100-r}C_{91} (-1)^{91} = -^{100-r}C_{91}$ છે.આમ,શ્રેણીમાં $x^{91}$ નો સહગુણક $\sum_{r=1}^{9} {^{100}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot (-^{100-r}C_{91})}$ છે.નિત્યસમ $^{n}C_r \cdot ^{n-r}C_k = ^{n}C_k \cdot ^{n-k}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,$^{100}C_r \cdot ^{100-r}C_{91} = ^{100}C_{91} \cdot ^{100-91}C_r = ^{100}C_9 \cdot ^{9}C_r$ મળે.આ કિંમત મૂકતા,સહગુણક $-\sum_{r=1}^{9} {^{100}C_9 \cdot ^{9}C_r \cdot 2^{9-r}} = -^{100}C_9 \sum_{r=1}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r}}$ થાય.દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(2+1)^9 = \sum_{r=0}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot 1^r} = ^{9}C_0 \cdot 2^9 + \sum_{r=1}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r}}$.તેથી,$\sum_{r=1}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r}} = 3^9 - 2^9$.તેથી,સહગુણક $-^{100}C_9 (3^9 - 2^9) = ^{100}C_9 (2^9 - 3^9)$ છે.

શ્રેણી $^{100}C_1 \cdot 2^8 \cdot (1 - x)^{99} + ^{100}C_2 \cdot 2^7 \cdot (1 - x)^{98} + ^{100}C_3 \cdot 2^6 \cdot (1 - x)^{97} + \dots + ^{100}C_9 \cdot (1 - x)^{91}$ માં $x^{91}$ નો સહગુણક - છે.

Similar Questions

${\left( x + \frac{1}{x} \right)^{10}}$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદ કયું છે?

$(2^{1/3} + 3^{1/4})^{12}$ ના વિસ્તરણમાં સંમેય સંખ્યા હોય તેવા તમામ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

વિસ્તરણ $\sum_{m = 0}^{100} {^{100}C_m (x - 3)^{100 - m} \cdot 2^m}$ માં $x^{53}$ નો સહગુણક શું છે?

જો $(2x^3 + \frac{3}{x})^{10}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં $x$ ની તમામ ધન યુગ્મ ઘાતોના સહગુણકોનો સરવાળો $5^{10} - \beta \cdot 3^9$ હોય,તો $\beta$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module