समीकरणों z^3+2z^2+2z+1=0 और z^{2014}+z^{2015} | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $z^3+2z^2+2z+1=0$ को $(z+1)(z^2+z+1)=0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। इसके मूल $-1, \omega, \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इक

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$\omega, \omega^2$

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(A) दिया गया समीकरण $z^3+2z^2+2z+1=0$ को $(z+1)(z^2+z+1)=0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। इसके मूल $-1, \omega, \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है। माना $f(z) = z^{2014}+z^{2015}+1$ है। $z=-1$ के लिए जाँचने पर: $f(-1) = (-1)^{2014}+(-1)^{2015}+1 = 1-1+1 = 1 
eq 0$। अतः,$-1$ उभयनिष्ठ मूल नहीं है। $z=\omega$ के लिए जाँचने पर: $f(\omega) = \omega^{2014}+\omega^{2015}+1 = (\omega^3)^{671} \cdot \omega + (\omega^3)^{671} \cdot \omega^2 + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$। अतः,$\omega$ उभयनिष्ठ मूल है। $z=\omega^2$ के लिए जाँचने पर: $f(\omega^2) = (\omega^2)^{2014}+(\omega^2)^{2015}+1 = \omega^{4028}+\omega^{4030}+1 = (\omega^3)^{1342} \cdot \omega^2 + (\omega^3)^{1343} \cdot \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$। अतः,$\omega^2$ उभयनिष्ठ मूल है। अतः,उभयनिष्ठ मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।

समीकरणों $z^3+2z^2+2z+1=0$ और $z^{2014}+z^{2015}+1=0$ के उभयनिष्ठ मूल हैं

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