સમીકરણો z^3+2z^2+2z+1=0 અને z^{2014}+z^{2015} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણ $z^3+2z^2+2z+1=0$ ને $(z+1)(z^2+z+1)=0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે. તેના બીજ $-1, \omega, \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ

Vedclass · Accepted Answer

$\omega, \omega^2$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણ $z^3+2z^2+2z+1=0$ ને $(z+1)(z^2+z+1)=0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે. તેના બીજ $-1, \omega, \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે. ધારો કે $f(z) = z^{2014}+z^{2015}+1$. $z=-1$ માટે ચકાસતા: $f(-1) = (-1)^{2014}+(-1)^{2015}+1 = 1-1+1 = 1 
eq 0$. તેથી,$-1$ સામાન્ય બીજ નથી. $z=\omega$ માટે ચકાસતા: $f(\omega) = \omega^{2014}+\omega^{2015}+1 = (\omega^3)^{671} \cdot \omega + (\omega^3)^{671} \cdot \omega^2 + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$. તેથી,$\omega$ સામાન્ય બીજ છે. $z=\omega^2$ માટે ચકાસતા: $f(\omega^2) = (\omega^2)^{2014}+(\omega^2)^{2015}+1 = \omega^{4028}+\omega^{4030}+1 = (\omega^3)^{1342} \cdot \omega^2 + (\omega^3)^{1343} \cdot \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$. તેથી,$\omega^2$ સામાન્ય બીજ છે. આમ,સામાન્ય બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.

સમીકરણો $z^3+2z^2+2z+1=0$ અને $z^{2014}+z^{2015}+1=0$ ના સામાન્ય બીજ કયા છે?

Similar Questions

$1+i\sqrt{3}$ ના ભિન્ન $(2n)^{\text{th}}$ મૂળનો ગુણાકાર કેટલો થાય?

જો $\alpha, \beta$ એ $1+x+x^2=0$ ના બીજ હોય,તો $\alpha^4+\beta^4+\alpha^{-4}\beta^{-4}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\alpha \neq 1$ એ એકમનું કોઈ $n^{th}$ મૂળ હોય,તો $S = 1 + 3\alpha + 5\alpha^2 + \dots$ $n$ પદો સુધી,કોના બરાબર થાય?

સમીકરણ $x^4 - 1 = 0$ ના બીજ કયા છે?

જો $z(2-i)=(3+i)$ હોય,તો $z^{38} = ?$ (જ્યાં $z=x+iy$)

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module