वक्र x=a(theta+sin theta), y=a(1-cos theta) प | vedclass

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Question

(B) दिया गया वक्र $x=a(	heta+\sin 	heta)$ और $y=a(1-\cos 	heta)$ है।चूँकि स्पर्श रेखा धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $\psi = \frac{\pi}{4}$ का कोण बनाती ह

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$\left(a\left(\frac{\pi}{2}+1\right), a\right)$

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(B) दिया गया वक्र $x=a(	heta+\sin 	heta)$ और $y=a(1-\cos 	heta)$ है।चूँकि स्पर्श रेखा धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $\psi = \frac{\pi}{4}$ का कोण बनाती है, इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल $m = 	an(\frac{\pi}{4}) = 1$ है।हम जानते हैं कि $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d	heta}{dx/d	heta}$.अवकलन करने पर:$\frac{dy}{d	heta} = a \sin 	heta$$\frac{dx}{d	heta} = a(1+\cos 	heta)$अतः, $\frac{dy}{dx} = \frac{a \sin 	heta}{a(1+\cos 	heta)} = \frac{\sin 	heta}{1+\cos 	heta} = 1$.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin 	heta = 2 \sin(\frac{	heta}{2}) \cos(\frac{	heta}{2})$ और $1+\cos 	heta = 2 \cos^2(\frac{	heta}{2})$ का उपयोग करने पर:$\frac{2 \sin(\frac{	heta}{2}) \cos(\frac{	heta}{2})}{2 \cos^2(\frac{	heta}{2})} = 	an(\frac{	heta}{2}) = 1$.इसलिए, $\frac{	heta}{2} = \frac{\pi}{4}$, जिसका अर्थ है कि $	heta = \frac{\pi}{2}$.अब, $x$ और $y$ के समीकरणों में $	heta = \frac{\pi}{2}$ रखने पर:$x = a(\frac{\pi}{2} + \sin(\frac{\pi}{2})) = a(\frac{\pi}{2} + 1)$$y = a(1 - \cos(\frac{\pi}{2})) = a(1 - 0) = a$.बिंदु के निर्देशांक $\left(a(\frac{\pi}{2}+1), aight)$ हैं।अतः, विकल्प $B$ सही है।

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