सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} \cos(\theta + \phi) & -\sin(\theta + \phi) & \cos 2\phi \\ \sin \theta & \cos \theta & \sin \phi \\ -\cos \theta & \sin \theta & \cos \phi \end{array} \right|$ है :

मान लीजिए $l, m, n \in R$ और $A = \begin{bmatrix} 1 & r & r^2 & l \\ r & r^2 & 1 & m \\ r^2 & 1 & r & n \end{bmatrix}$ है। तब $r$ के उन सभी वास्तविक मानों का समुच्चय जिनके लिए $A$ की कोटि (rank) $3$ है, है

यदि $A = \begin{bmatrix} \sqrt{2020} & \sqrt{2021} & \sqrt{2022} & \sqrt{2023} \\ \sqrt{4040} & \sqrt{4042} & \sqrt{4044} & \sqrt{4046} \\ \sqrt{6060} & \sqrt{6063} & \sqrt{6066} & \sqrt{6069} \\ \sqrt{8080} & \sqrt{8084} & \sqrt{8088} & \sqrt{8092} \end{bmatrix}$ है,तो $A$ की कोटि (rank) ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{vmatrix} x & x^2 & x^3 \\ 1 & 2x & 3x^2 \\ 0 & 2 & 6x \end{vmatrix}$ है,तो अनुपात $f^{\prime \prime}(x) : f^{\prime}(x) =$

मान लीजिए $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2\cos^2 x & \sin(2x) & -\sin x \\ \sin(2x) & 2\sin^2 x & \cos x \\ \sin x & -\cos x & 0 \end{array} \right|$ है। तो,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [f(x) + f'(x)] dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \sin^2 x & \cos^2 x & 4 \sin 2x \\ \sin^2 x & 1 + \cos^2 x & 4 \sin 2x \\ \sin^2 x & \cos^2 x & 1 + 4 \sin 2x \end{array} \right|$,तो $f(x)$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।