अंतराल left[ -frac{pi}{2}, frac{pi}{2} right] | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \sin(2x) - x$. अवकलन करने पर $f'(x) = 2\cos(2x) - 1$. $f'(x) = 0$ रखने पर,$2\cos(2x) = 1$,अतः $\cos(2x) = \frac{1}{2}$. अंतराल

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$\pi$

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(A) दिया गया है $f(x) = \sin(2x) - x$. अवकलन करने पर $f'(x) = 2\cos(2x) - 1$. $f'(x) = 0$ रखने पर,$2\cos(2x) = 1$,अतः $\cos(2x) = \frac{1}{2}$. अंतराल $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ में,$2x \in [-\pi, \pi]$,इसलिए $2x = \pm \frac{\pi}{3}$,जिसका अर्थ है $x = \pm \frac{\pi}{6}$. अब,क्रांतिक बिंदुओं और अंतिम बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करने पर: $f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sin(-\pi) - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$. $f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}$. $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$. $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin(\pi) - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$. उच्चतम मान $\frac{\pi}{2}$ और न्यूनतम मान $-\frac{\pi}{2}$ है। अतः अंतर $\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$ होगा।

अंतराल $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ पर फलन $f(x) = \sin(2x) - x$ के उच्चतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।

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