प्रथम चतुर्थांश में स्थित और निर्देशांक अक्षो | vedclass

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Question

(A) माना वृत्त की त्रिज्या $a$ है। तब वृत्त का केंद्र $(a, a)$ है। अतः, वृत्त का समीकरण है:$(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2ay + a^2

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$(x-y)^2\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]=\left(x+y \frac{d y}{d x}\right)^2$

Vedclass · Answer

(A) माना वृत्त की त्रिज्या $a$ है। तब वृत्त का केंद्र $(a, a)$ है। अतः, वृत्त का समीकरण है:$(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2ay + a^2 = a^2$$x^2 + y^2 - 2ax - 2ay + a^2 = 0$  --- $(i)$समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2a - 2a \frac{dy}{dx} = 0$$x + y \frac{dy}{dx} - a(1 + \frac{dy}{dx}) = 0$$a = \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}}$$a$ का मान समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$$(x-a)^2 + (y-a)^2 = (\frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}})^2$यहाँ $(x-a) = x - \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}} = \frac{(x-y) \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}}$और $(y-a) = y - \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}} = \frac{y-x}{1 + \frac{dy}{dx}}$इन मानों को $(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$ में रखने पर:$(\frac{(x-y) \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}})^2 + (\frac{y-x}{1 + \frac{dy}{dx}})^2 = (\frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}})^2$$(x-y)^2 (\frac{dy}{dx})^2 + (x-y)^2 = (x + y \frac{dy}{dx})^2$$(x-y)^2 [1 + (\frac{dy}{dx})^2] = (x + y \frac{dy}{dx})^2$

प्रथम चतुर्थांश में स्थित और निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करने वाले सभी वृत्तों के संगत अवकल समीकरण है

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$y=5$ रेखा पर केंद्र रखने वाले और $X$-अक्ष को स्पर्श करने वाले सभी वृत्तों का अवकल समीकरण ...... है।

वह अवकल समीकरण जिसके लिए $y^2 = 4a(x+a)$ (जहाँ $a$ एक प्राचल है) व्यापक हल है,वह है:

प्रथम चतुर्थांश में स्थित उन वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं।

मूल बिंदु पर शीर्ष और धनात्मक $Y$-अक्ष के अनुदिश अक्ष वाले सभी परवलयों का अवकल समीकरण क्या है?

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