बिंदुओं (1,2,3), (3,-1,5) और (4,0,-3) द्वारा | vedclass

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Question

(A) माना $A = (1,2,3)$,$B = (3,-1,5)$,और $C = (4,0,-3)$ है।सबसे पहले,हम भुजाओं के दिक्-अनुपात ज्ञात करते हैं:$\overline{AB}$ के दिक्-अनुपात $= (3-1, -

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$\sqrt{\frac{33}{2}}$

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(A) माना $A = (1,2,3)$,$B = (3,-1,5)$,और $C = (4,0,-3)$ है।सबसे पहले,हम भुजाओं के दिक्-अनुपात ज्ञात करते हैं:$\overline{AB}$ के दिक्-अनुपात $= (3-1, -1-2, 5-3) = (2, -3, 2)$ हैं।$\overline{AC}$ के दिक्-अनुपात $= (4-1, 0-2, -3-3) = (3, -2, -6)$ हैं।लंबवतता की जाँच: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2)(3) + (-3)(-2) + (2)(-6) = 6 + 6 - 12 = 0$ है।चूँकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $\overline{AB} \perp \overline{AC}$,जिसका अर्थ है कि $\angle A = 90^{\circ}$ है।समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र $H$ वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है। अतः,$H = A = (1, 2, 3)$ है।समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र $S$,कर्ण $\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु होता है।$S = \left( \frac{3+4}{2}, \frac{-1+0}{2}, \frac{5-3}{2} \right) = \left( \frac{7}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right)$ है।दूरी सूत्र द्वारा $HS$ की दूरी:$HS = \sqrt{\left( \frac{7}{2} - 1 \right)^2 + \left( -\frac{1}{2} - 2 \right)^2 + (1 - 3)^2}$$HS = \sqrt{\left( \frac{5}{2} \right)^2 + \left( -\frac{5}{2} \right)^2 + (-2)^2}$$HS = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4} + 4} = \sqrt{\frac{50}{4} + \frac{16}{4}} = \sqrt{\frac{66}{4}} = \sqrt{\frac{33}{2}}$ है।अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

बिंदुओं $(1,2,3), (3,-1,5)$ और $(4,0,-3)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज के लंबकेंद्र और परिकेंद्र के बीच की दूरी क्या है?

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