समतलों x+2y+3z=2 और x-y+z=3 के प्रतिच्छेदन रे | vedclass

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Question

(A) समतलों $x+2y+3z-2=0$ और $x-y+z-3=0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $(x+2y+3z-2) + \lambda(x-y+z-3) = 0$ द्वारा दिया जात

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$5x-11y+z=17$

Vedclass · Answer

(A) समतलों $x+2y+3z-2=0$ और $x-y+z-3=0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $(x+2y+3z-2) + \lambda(x-y+z-3) = 0$ द्वारा दिया जाता है।इसे सरल करने पर $(1+\lambda)x + (2-\lambda)y + (3+\lambda)z - (2+3\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।इस समतल की बिंदु $(3,1,-1)$ से दूरी $\frac{|(1+\lambda)(3) + (2-\lambda)(1) + (3+\lambda)(-1) - (2+3\lambda)|}{\sqrt{(1+\lambda)^2 + (2-\lambda)^2 + (3+\lambda)^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।अंश का सरलीकरण: $|3+3\lambda + 2-\lambda - 3-\lambda - 2-3\lambda| = |-2\lambda|$.हर का सरलीकरण: $\sqrt{(1+2\lambda+\lambda^2) + (4-4\lambda+\lambda^2) + (9+6\lambda+\lambda^2)} = \sqrt{3\lambda^2+4\lambda+14}$.अतः,$\frac{|-2\lambda|}{\sqrt{3\lambda^2+4\lambda+14}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4\lambda^2}{3\lambda^2+4\lambda+14} = \frac{4}{3}$.$3\lambda^2 = 3\lambda^2+4\lambda+14$,जिससे $4\lambda = -14$,अतः $\lambda = -\frac{7}{2}$.$\lambda = -\frac{7}{2}$ को समीकरण में रखने पर: $(1-\frac{7}{2})x + (2+\frac{7}{2})y + (3-\frac{7}{2})z - (2-\frac{21}{2}) = 0$.$-\frac{5}{2}x + \frac{11}{2}y - \frac{1}{2}z + \frac{17}{2} = 0$.$-2$ से गुणा करने पर,$5x-11y+z-17=0$,या $5x-11y+z=17$ प्राप्त होता है।

समतलों $x+2y+3z=2$ और $x-y+z=3$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले और बिंदु $(3,1,-1)$ से $\frac{2}{\sqrt{3}}$ की दूरी पर स्थित समतल का समीकरण है

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रेखा $\vec r = \hat i + \hat j + \hat k + t(\hat i + 3\hat j - \hat k)$ पर स्थित वह बिंदु (बिंदुएं) जो समतल $\vec r \cdot (\hat i + 2\hat j + 2\hat k) + 2 = 0$ से $3 \ units$ की दूरी पर हैं,हैं

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