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Question

(D) दी गई रेखाएँ $3x + 4y - 18 = 0$ और $3x + 4y + 2 = 0$ वृत्त की समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं।इन समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|c_2 - c_1|}{\sq

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$x^2 + y^2 + 8x - 10y + 37 = 0$

Vedclass · Answer

(D) दी गई रेखाएँ $3x + 4y - 18 = 0$ और $3x + 4y + 2 = 0$ वृत्त की समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं।इन समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|2 - (-18)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{20}{5} = 4$ है।वृत्त का व्यास $4$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{4}{2} = 2$ है।माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूंकि केंद्र $2x + y + 3 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $2h + k + 3 = 0 \Rightarrow k = -2h - 3$ है।केंद्र $(h, k)$ से स्पर्श रेखा $3x + 4y + 2 = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 2$ के बराबर है:$\frac{|3h + 4k + 2|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 2$ $\Rightarrow |3h + 4(-2h - 3) + 2| = 10$ $\Rightarrow |-5h - 10| = 10$।इससे $h = -4$ या $h = 0$ प्राप्त होता है।यदि $h = -4$ है,तो $k = 5$ है। केंद्र $(-4, 5)$ है।वृत्त का समीकरण $(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 2^2 \Rightarrow x^2 + y^2 + 8x - 10y + 37 = 0$ है।

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