बिंदु (1,0) से गुजरने वाले और जिसका ढाल frac{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि वक्र का ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y - 1}{x^2 + x}$ है।चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y - 1} = \frac{dx}{x(x + 1)}$ प्राप्त हो

Vedclass · Accepted Answer

$(y - 1)(x + 1) + 2x = 0$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि वक्र का ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y - 1}{x^2 + x}$ है।चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y - 1} = \frac{dx}{x(x + 1)}$ प्राप्त होता है।आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर,$\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y - 1} = \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) dx$.$\ln|y - 1| = \ln|x| - \ln|x + 1| + C$.$\ln|y - 1| = \ln|\frac{x}{x + 1}| + C$.$y - 1 = k \cdot \frac{x}{x + 1}$,जहाँ $k = e^C$.चूँकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है,$x = 1$ और $y = 0$ रखने पर:$0 - 1 = k \cdot \frac{1}{1 + 1} \implies -1 = \frac{k}{2} \implies k = -2$.अतः,$y - 1 = -2 \cdot \frac{x}{x + 1}$.$(y - 1)(x + 1) = -2x$.$(y - 1)(x + 1) + 2x = 0$.

बिंदु $(1,0)$ से गुजरने वाले और जिसका ढाल $\frac{y - 1}{x^2 + x}$ है,उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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अवकल समीकरण $2 y \frac{dy}{dx} + 3 = 5 \frac{dy}{dx}$ का हल वक्र,जो बिंदु $(0, 1)$ से होकर गुजरता है,एक शांकव है जिसका शीर्ष इस रेखा पर स्थित है:

यदि $2 f(x) = f^{\prime}(x)$ और $f(0) = 3$ है,तो $f(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(2 + \sin x) \frac{dy}{dx} + (y + 1) \cos x = 0$ और $y(0) = 1$ है,तो $y(\frac{\pi}{2}) = \dots$

अवकल समीकरण $y \ dx - x \ dy = xy \ dx$ का हल . . . . . . है।

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