समीकरणों $x+y+z=3$, $x+2y+2z=6$ और $x+ay+3z=b$ के

मान लीजिए $\beta$ एक वास्तविक संख्या है। आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \beta & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & -2 \end{bmatrix}$ पर विचार करें। यदि $A^7 - (\beta - 1)A^6 - \beta A^5$ एक अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह है,तो $9\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि समीकरण निकाय $kx + y + 2z = 1$,$3x - y - 2z = 2$,और $-2x - 2y - 4z = 3$ के अनंत हल हैं,तो $k$ का मान .......... है।

युगपत रैखिक समीकरणों $AX=B$ और $AY=Q$ पर विचार करें। यदि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है और $B$, $AY=Q$ का अद्वितीय हल है, तो $AX=B$ का हल क्या है?

समीकरणों के निकाय की संगति की जाँच कीजिए: $x+3y=5$ और $2x+6y=8$.

मान लीजिए $a$,$(1-2x+2x^2)^{2023}(3-4x^2+2x^3)^{2024}$ के विस्तार में सभी गुणांकों का योग है और $b = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\int_0^x \frac{\ln(1+t)}{t^{2024}+1} dt}{x^2} \right)$ है। यदि समीकरणों $cx^2+dx+e=0$ और $2bx^2+ax+4=0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है,जहाँ $c, d, e \in \mathbb{R}$,तो $d:c:e$ किसके बराबर है?