समीकरणों के निकाय की संगति की जाँच कीजिए: $x+3y=5$ और $2x+6y=8$.

यदि रैखिक समीकरण निकाय $(\sin \theta) x - y + z = 0$, $x - (\cos \theta) y + z = 0$, और $x + y + (\sin \theta) z = 0$ का एक अशून्य हल है, तो $\theta$ का न्यूनतम धनात्मक मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित समीकरण प्रणाली पर विचार करें: $x+2y-3z=a$,$2x+6y-11z=b$,और $x-2y+7z=c$,जहाँ $a, b$ और $c$ वास्तविक स्थिरांक हैं। तो समीकरण प्रणाली:

निम्नलिखित समीकरण निकाय $3x - 2y + z = 0$,$\lambda x - 14y + 15z = 0$,$x + 2y - 3z = 0$ का $x = y = z = 0$ के अलावा अन्य हल होने के लिए $\lambda$ का मान क्या होगा?

यदि $p, q, r$ तीन वास्तविक संख्याएँ हैं जो आव्यूह समीकरण $[p, q, r] \begin{bmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} = [3, 0, 1]$ को संतुष्ट करती हैं,तो $2p + q - r$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि समीकरणों की प्रणाली $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}-\frac{3}{z}-1=0$,$\frac{2}{x}-\frac{4}{y}+\frac{3}{z}-1=0$ और $\frac{3}{x}+\frac{6}{y}-\frac{6}{z}-4=0$ का हल $x=\alpha, y=\beta, z=\gamma$ है,तो $\alpha^2+\gamma^2=$