પદાવલિ frac{2^2+1}{2^2-1}+frac{3^2+1}{3^2-1}+ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $S = \sum_{r=2}^{2011} \frac{r^2+1}{r^2-1}$.સામાન્ય પદ $T_r$ ને આ રીતે લખી શકાય:$T_r = \frac{r^2-1+2}{r^2-1} = 1 + \frac{2}{(r-1)(r+1)}$.આ

Vedclass · Accepted Answer

$\left(2011, 2011 \frac{1}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $S = \sum_{r=2}^{2011} \frac{r^2+1}{r^2-1}$.સામાન્ય પદ $T_r$ ને આ રીતે લખી શકાય:$T_r = \frac{r^2-1+2}{r^2-1} = 1 + \frac{2}{(r-1)(r+1)}$.આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:$T_r = 1 + \left(\frac{1}{r-1} - \frac{1}{r+1}\right)$.$r=2$ થી $2011$ સુધી સરવાળો કરતા:$S = \sum_{r=2}^{2011} 1 + \sum_{r=2}^{2011} \left(\frac{1}{r-1} - \frac{1}{r+1}\right)$.પ્રથમ ભાગ $\sum_{r=2}^{2011} 1 = 2010$ છે.બીજો ભાગ ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:$\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{2009} - \frac{1}{2011}\right) + \left(\frac{1}{2010} - \frac{1}{2012}\right)$.છેદ ઉડાડતા,આપણને મળે છે:$1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2011} - \frac{1}{2012} = \frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right)$.આમ,$S = 2010 + 1.5 - \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right) = 2011.5 - \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right)$.કારણ કે $0 < \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right) < 1$,તેથી $S$ ની કિંમત $\left(2011, 2011 \frac{1}{2}\right)$ અંતરાલમાં આવે છે.

પદાવલિ $\frac{2^2+1}{2^2-1}+\frac{3^2+1}{3^2-1}+\frac{4^2+1}{4^2-1}+\ldots+\frac{(2011)^2+1}{(2011)^2-1}$ કયા અંતરાલમાં આવેલી છે?

Similar Questions

જો $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=m$ અને $\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\ldots+\frac{1}{99 \cdot 100}=n$ હોય,તો બિંદુ $(m, n)$ કઈ રેખા પર આવેલું છે?

અનંત શ્રેણી $\frac{1}{3 \times 7} + \frac{1}{7 \times 11} + \frac{1}{11 \times 15} + \dots$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

શ્રેણી $(1^2 + 1) \cdot 1! + (2^2 + 1) \cdot 2! + (3^2 + 1) \cdot 3! + \dots + (n^2 + 1) \cdot n!$ નો સરવાળો શું થાય?

$1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + \dots + n(n!) = \dots$

જો $\frac{1}{(20-a)(40-a)}+\frac{1}{(40-a)(60-a)}+\ldots+\frac{1}{(180-a)(200-a)}=\frac{1}{256}$ હોય,તો $a$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module