n^5-5n^3+4n निम्नलिखित में से किसके लिए 120 स | vedclass

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Question

(A) माना $P(n) = n^5-5n^3+4n$.व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $P(n) = n(n^4-5n^2+4) = n(n^2-1)(n^2-4)$.आगे गुणनखंड करने पर: $P(n) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$.

Vedclass · Accepted Answer

सभी धनात्मक पूर्णांक $n$

Vedclass · Answer

(A) माना $P(n) = n^5-5n^3+4n$.व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $P(n) = n(n^4-5n^2+4) = n(n^2-1)(n^2-4)$.आगे गुणनखंड करने पर: $P(n) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$.यह $5$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है।$k$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $k!$ से विभाज्य होता है।इसलिए,$P(n)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $n \geq 1$ के लिए $5! = 120$ से विभाज्य है।$n=1$ के लिए,$P(1) = 0$,जो $120$ से विभाज्य है।$n=2$ के लिए,$P(2) = 0$,जो $120$ से विभाज्य है।$n=3$ के लिए,$P(3) = 120$,जो $120$ से विभाज्य है।अतः,यह कथन सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए सत्य है।

$n^5-5n^3+4n$ निम्नलिखित में से किसके लिए $120$ से विभाज्य है?

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