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Question

(A) माना $f(x) = \cos^{-1}\left( \sin \sqrt{\frac{1+x}{2}} ight) + x^x$. सर्वसमिका $\sin 	heta = \cos(\frac{\pi}{2} - 	heta)$ का उपयोग करने पर: $f

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(A) माना $f(x) = \cos^{-1}\left( \sin \sqrt{\frac{1+x}{2}} ight) + x^x$. सर्वसमिका $\sin 	heta = \cos(\frac{\pi}{2} - 	heta)$ का उपयोग करने पर: $f(x) = \cos^{-1}\left[ \cos \left( \frac{\pi}{2} - \sqrt{\frac{1+x}{2}} ight) ight] + x^x$. व्यंजक को सरल करने पर: $f(x) = \frac{\pi}{2} - \sqrt{\frac{1+x}{2}} + x^x$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(x) = 0 - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}} + \frac{d}{dx}(x^x)$. चूंकि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \ln x)$,हमें प्राप्त होता है: $f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{2(1+x)}} + x^x(1 + \ln x)$. $x = 1$ पर: $f'(1) = -\frac{1}{2\sqrt{2(1+1)}} + 1^1(1 + \ln 1) = -\frac{1}{2\sqrt{4}} + 1(1 + 0) = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$.

$x = 1$ पर फलन $\left[ \cos^{-1}\left( \sin \sqrt{\frac{1+x}{2}} \right) + x^x \right]$ का $x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज ज्ञात कीजिए।

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