ઉપવલય $25x^2 + 4y^2 + 100x - 4y + 100 = 0$ ના નાભિઓ કયા છે?

જો $\alpha, \beta$ એ એકમના $4^{th}$ મૂળના બે વાસ્તવિક બીજ હોય અને $\gamma, \delta$ એ અન્ય બે બીજ હોય,તો શાંકવ $|z-\alpha|+|z-\beta|=4$ અને $|z-\gamma|+|z-\delta|=6$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(b < 3)$ ના નાભિથી તેના અનુરૂપ નિયામિકાનું લંબ અંતર $\frac{4}{\sqrt{5}}$ હોય,તો આ ઉપવલય પર $\left(\frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો.

$P(\theta_1)$ અને $Q(\theta_2)$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના બે બિંદુઓ છે,જેની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ છે. જો $PSQ$ એ નાભિ જીવા હોય અને $\tan \left(\frac{\theta_1}{2}\right) \tan \left(\frac{\theta_2}{2}\right)=-(2 \sqrt{2}+3)$ હોય,તો $e$ અને $S$ શું છે?

એક ઉપવલય (ellipse) ની મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ અનુક્રમે $10$ અને $8$ છે અને તેની મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે. તેના કેન્દ્રને ઉગમબિંદુ તરીકે લેતા,ઉપવલયનું સમીકરણ શું થશે?

ધારો કે $E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ એક ઉપવલય છે. ઉપવલયો $E_i$ એવી રીતે બનાવવામાં આવે છે કે તેમના કેન્દ્રો અને ઉત્કેન્દ્રતા $E_1$ જેવી જ હોય,અને $E_i$ ની લઘુ અક્ષની લંબાઈ એ $E_{i+1}$ ની ગુરુ અક્ષની લંબાઈ જેટલી હોય $(i \geq 1)$. જો $A_i$ એ ઉપવલય $E_i$ નું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $\frac{5}{\pi}\left(\sum_{i=1}^{\infty} A_i\right)$ ની કિંમત . . . . . . છે.