फलन f(x) = frac{log(pi + x)}{log(e + x)} है | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{\log(\pi + x)}{\log(e + x)}$.भागफल नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = \frac{\frac{1}{\pi + x} \log(e + x) - \log(\pi + x) \c

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$(0, \infty)$ पर ह्रासमान

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{\log(\pi + x)}{\log(e + x)}$.भागफल नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = \frac{\frac{1}{\pi + x} \log(e + x) - \log(\pi + x) \cdot \frac{1}{e + x}}{\{\log(e + x)\}^2}$.$f'(x) = \frac{(e + x) \log(e + x) - (\pi + x) \log(\pi + x)}{(\pi + x)(e + x) \{\log(e + x)\}^2}$.मान लीजिए $g(x) = (e + x) \log(e + x) - (\pi + x) \log(\pi + x)$.तब $g'(x) = \log(e + x) + 1 - (\log(\pi + x) + 1) = \log(e + x) - \log(\pi + x)$.चूंकि $\pi > e$,$x > 0$ के लिए $\pi + x > e + x$,इसलिए $\log(\pi + x) > \log(e + x)$.अतः,$g'(x) चूंकि $g(0) = e \log e - \pi \log \pi = e - \pi \log \pi  0$ के लिए $g(x) अतः,सभी $x \in (0, \infty)$ के लिए $f'(x) < 0$,जो दर्शाता है कि $f(x)$ अंतराल $(0, \infty)$ पर ह्रासमान है।

फलन $f(x) = \frac{\log(\pi + x)}{\log(e + x)}$ है

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