यदि f(x) = 2x + cot^{-1}x + log(sqrt{1 + x^2} | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = 2x + \cot^{-1}x + \log(\sqrt{1 + x^2} - x)$।सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:$f'(x) = 2 - \frac{1}{1 + x^2

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$[0, \infty)$ में वर्धमान है

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = 2x + \cot^{-1}x + \log(\sqrt{1 + x^2} - x)$।सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:$f'(x) = 2 - \frac{1}{1 + x^2} + \frac{1}{\sqrt{1 + x^2} - x} \cdot \left( \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} - 1 ight)$तीसरे पद को सरल करने पर:$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2} - x} \cdot \left( \frac{x - \sqrt{1 + x^2}}{\sqrt{1 + x^2}} ight) = -\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$अतः,$f'(x) = 2 - \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$$f'(x) = \frac{2(1 + x^2) - 1 - \sqrt{1 + x^2}}{1 + x^2} = \frac{2x^2 + 1 - \sqrt{1 + x^2}}{1 + x^2}$चूंकि $x 
eq 0$ के लिए $\sqrt{1 + x^2} > 1$ और सभी $x$ के लिए $2x^2 + 1 > \sqrt{1 + x^2}$ है,इसलिए $f'(x) > 0$ है।अतः,$f(x)$ अंतराल $[0, \infty)$ पर एक वर्धमान फलन है।

यदि $f(x) = 2x + \cot^{-1}x + \log(\sqrt{1 + x^2} - x)$ है,तो $f(x)$

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फलन $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 6$ कब एकदिष्ट ह्रासमान (monotonically decreasing) है?

फलन $f(x) = (x + 2) e^{-x}$ है

माना $f(x)=3 \sin ^{4} x+10 \sin ^{3} x+6 \sin ^{2} x-3$,जहाँ $x \in\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ है। तो,$f$ है $.....$

$a$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $f(x) = \sqrt{3} \sin x - \cos x - 2ax + b$,$x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए एक ह्रासमान (decreasing) फलन है।

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