फलन f(x) = x^x वर्धमान है,जब: | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = x^x$,जहाँ $x > 0$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = x \ln x$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\fr

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$x > \frac{1}{e}$

Vedclass · Answer

(A) माना $f(x) = x^x$,जहाँ $x > 0$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = x \ln x$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$।अतः,$f'(x) = x^x(1 + \ln x)$।फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना आवश्यक है।चूँकि $x > 0$ के लिए $x^x > 0$ होता है,इसलिए $f'(x) > 0$ के लिए $1 + \ln x > 0$ होना चाहिए।$\ln x > -1$।$\ln x > \ln(e^{-1})$।$x > \frac{1}{e}$।

फलन $f(x) = x^x$ वर्धमान है,जब:

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$f(x) = x^2 - 6x + 10$ . . . . . . अंतराल में एक वर्धमान फलन है।

यदि $x > 0$ है,तो $\frac{x}{1+x} - \log(1+x)$

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