વિધેય f:R to left[ { - frac{1}{2},frac{1}{2}} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે $f:R 	o \left[ { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} ight]$ જ્યાં $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$.પ્રથમ,એક-એક (injective) ચકાસો:$f'(x) = \frac{(1 + x

Vedclass · Accepted Answer

વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે $f:R 	o \left[ { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} ight]$ જ્યાં $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$.પ્રથમ,એક-એક (injective) ચકાસો:$f'(x) = \frac{(1 + x^2)(1) - x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{(1 - x)(1 + x)}{(1 + x^2)^2}$.અહીં $f'(x)$ એ $x = 1$ અને $x = -1$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે,તેથી વિધેય એકવિધ નથી,એટલે કે તે એક-એક નથી.હવે,વ્યાપ્ત (surjective) ચકાસો:ધારો કે $y = \frac{x}{1 + x^2}$. તો $yx^2 - x + y = 0$.$x$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.$D = (-1)^2 - 4(y)(y) = 1 - 4y^2 \ge 0$.$4y^2 \le 1 \Rightarrow y^2 \le \frac{1}{4} \Rightarrow y \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} ight]$.અહીં વિસ્તાર એ સહ-પ્રદેશ જેટલો જ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી.

વિધેય $f:R \to \left[ { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right],$ જે $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,તે

Similar Questions

ગણ $A = \{1, 2, 3\}$ થી તે જ ગણ પરના તમામ એક-એક વિધેયોની સંખ્યા શોધો.

જો ગણ $A$ માં $n$ ઘટકો હોય,તો $A$ થી $A$ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેયોની સંખ્યા જે એક-એક (one-one) નથી તે કેટલી છે?

ધારો કે $R = \{ a, b, c, d, e \}$ અને $S = \{1, 2, 3, 4\}$ છે. $f(a) \neq 1$ હોય તેવા $f: R \rightarrow S$ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની કુલ સંખ્યા $.............$ છે.

જો $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} 2x & : x > 3 \\ x^2 & : 1 < x \leq 3 \\ 3x & : x \leq 1 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $f(-1) + f(2) + f(4)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module