frac{dy}{dx} = frac{x^3(y^4+1)}{left[2y^{-2/3 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે, $\frac{dy}{dx} = \frac{x^3(y^4+1)}{\left[2y^{-2/3} + 3x^2y^{-2/3}\right]^{3/2}} = \frac{x^3(y^4+1)}{\left[y^{-2/3}(2+3x^2)\right]^{3/2}}

Vedclass · Accepted Answer

$\log \left(\frac{y^4}{1+y^4}\right) = \frac{4}{9}\left(\frac{4+3x^2}{\sqrt{2+3x^2}}\right) + C$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે, $\frac{dy}{dx} = \frac{x^3(y^4+1)}{\left[2y^{-2/3} + 3x^2y^{-2/3}\right]^{3/2}} = \frac{x^3(y^4+1)}{\left[y^{-2/3}(2+3x^2)\right]^{3/2}} = \frac{x^3 y(y^4+1)}{(2+3x^2)^{3/2}}$.ચલને અલગ કરતા, આપણને મળે છે $\int \frac{1}{y(y^4+1)} dy = \int \frac{x^3}{(2+3x^2)^{3/2}} dx$.ડાબી બાજુ માટે, $I_1 = \int \frac{1}{y(y^4+1)} dy = \int \frac{y^3}{y^4(y^4+1)} dy$. ધારો કે $u = y^4$, તો $du = 4y^3 dy$, તેથી $I_1 = \frac{1}{4} \int \frac{du}{u(u+1)} = \frac{1}{4} \int \left(\frac{1}{u} - \frac{1}{u+1}\right) du = \frac{1}{4} \log \left|\frac{u}{u+1}\right| = \frac{1}{4} \log \left(\frac{y^4}{1+y^4}\right)$.જમણી બાજુ માટે, $I_2 = \int \frac{x^3}{(2+3x^2)^{3/2}} dx$. ધારો કે $t^2 = 2+3x^2$, તો $2t dt = 6x dx$, તેથી $x dx = \frac{1}{3} t dt$ અને $x^2 = \frac{t^2-2}{3}$.$I_2 = \int \frac{x^2 \cdot x dx}{(t^2)^{3/2}} = \int \frac{(\frac{t^2-2}{3}) \cdot \frac{1}{3} t dt}{t^3} = \frac{1}{9} \int \frac{t^2-2}{t^2} dt = \frac{1}{9} \int (1 - 2t^{-2}) dt = \frac{1}{9} (t + \frac{2}{t}) = \frac{1}{9} \left(\frac{t^2+2}{t}\right) = \frac{1}{9} \left(\frac{2+3x^2+2}{\sqrt{2+3x^2}}\right) = \frac{1}{9} \left(\frac{4+3x^2}{\sqrt{2+3x^2}}\right)$.$I_1 = I_2 + C$ ને સરખાવતા, આપણને મળે છે $\frac{1}{4} \log \left(\frac{y^4}{1+y^4}\right) = \frac{1}{9} \left(\frac{4+3x^2}{\sqrt{2+3x^2}}\right) + C'$.$4$ વડે ગુણતા, $\log \left(\frac{y^4}{1+y^4}\right) = \frac{4}{9} \left(\frac{4+3x^2}{\sqrt{2+3x^2}}\right) + C$.

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^3(y^4+1)}{\left[2y^{-2/3} + 3\left(\frac{x}{y^{1/3}}\right)^2\right]^{3/2}}$ નું સામાન્ય ઉકેલ શું છે?

Similar Questions

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $e^{x} \sqrt{1-y^{2}} dx + \frac{y}{x} dy = 0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(1) = -1$ છે. તો $(y(3))^{2}$ ની કિંમત શોધો:

સમીકરણ $\sin^{-1} \left( \frac{dy}{dx} \right) = x + y$ નો ઉકેલ શોધો.

$(x - y^3)dx + 3xy^2dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\log \left(\frac{dy}{dx}\right) = 2x - 5y$ અને પ્રારંભિક શરત $y(0) = 0$ માટે ઉકેલ શોધો:

જો $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x+2) \frac{dy}{dx} = x^2+4x-9, x \neq -2$ નો ઉકેલ હોય અને $y(0) = 0$ હોય,તો $y(-4)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module