अवकल समीकरण y' + yphi'(x) - phi(x)phi'(x) = 0 | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y\phi'(x) = \phi(x)\phi'(x)$ है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \phi

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$y = ce^{-\phi(x)} + \phi(x) - 1$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y\phi'(x) = \phi(x)\phi'(x)$ है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \phi'(x)$ और $Q = \phi(x)\phi'(x)$ है।समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \phi'(x) dx} = e^{\phi(x)}$ है।व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।$y \cdot e^{\phi(x)} = \int \phi(x)\phi'(x) e^{\phi(x)} dx + c$।माना $t = \phi(x)$,तो $dt = \phi'(x) dx$ है।समाकलन $\int t e^t dt = t e^t - e^t + c$ हो जाता है।मान वापस रखने पर,$y \cdot e^{\phi(x)} = \phi(x)e^{\phi(x)} - e^{\phi(x)} + c$।दोनों पक्षों को $e^{\phi(x)}$ से विभाजित करने पर,$y = \phi(x) - 1 + c e^{-\phi(x)}$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $y' + y\phi'(x) - \phi(x)\phi'(x) = 0$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $\phi(x)$ एक ज्ञात फलन है: (जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है)

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