स्वेच्छ अचरों $a$ और $b$ का विलोपन करके $y = a e^{3x} + b e^{-2x}$ द्वारा निरूपित वक्रों के कुल के लिए अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

(N/A) दिया गया समीकरण: $y = a e^{3x} + b e^{-2x}$ .............$(1)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = 3a e^{3x} - 2b e^{-2x}$ .............$(2)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y'' = 9a e^{3x} + 4b e^{-2x}$ .............$(3)$
$a$ और $b$ को विलुप्त करने के लिए,हम समीकरणों की प्रणाली का उपयोग कर सकते हैं। $(1)$ और $(2)$ से:
$y' + 2y = (3a e^{3x} - 2b e^{-2x}) + 2(a e^{3x} + b e^{-2x}) = 5a e^{3x} \Rightarrow a e^{3x} = \frac{y' + 2y}{5}$
$y' - 3y = (3a e^{3x} - 2b e^{-2x}) - 3(a e^{3x} + b e^{-2x}) = -5b e^{-2x} \Rightarrow b e^{-2x} = \frac{3y - y'}{5}$
इन मानों को $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y'' = 9\left(\frac{y' + 2y}{5}\right) + 4\left(\frac{3y - y'}{5}\right)$
$y'' = \frac{9y' + 18y + 12y - 4y'}{5}$
$y'' = \frac{5y' + 30y}{5}$
$y'' = y' + 6y$
$y'' - y' - 6y = 0$