समतल x - 2y = 0 में बिंदु (-1, 3, 4) का प्रति | vedclass

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Question

(D) माना समतल $x - 2y = 0$ में बिंदु $P(-1, 3, 4)$ का प्रतिबिंब $P'(\alpha, \beta, \gamma)$ है।$P$ और $P'$ से गुजरने वाली रेखा समतल $x - 2y = 0$ के लं

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इनमें से कोई नहीं

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(D) माना समतल $x - 2y = 0$ में बिंदु $P(-1, 3, 4)$ का प्रतिबिंब $P'(\alpha, \beta, \gamma)$ है।$P$ और $P'$ से गुजरने वाली रेखा समतल $x - 2y = 0$ के लंबवत है। समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, -2, 0)$ है।बिंदु $P(-1, 3, 4)$ से गुजरने वाली और $(1, -2, 0)$ दिक-अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{-2} = \frac{z - 4}{0} = k$ है।अतः,इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(k - 1, -2k + 3, 4)$ है।$PP'$ का मध्य बिंदु $M = (\frac{\alpha - 1}{2}, \frac{\beta + 3}{2}, \frac{\gamma + 4}{2})$ है।चूंकि $M$ समतल $x - 2y = 0$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{\alpha - 1}{2} - 2(\frac{\beta + 3}{2}) = 0$,जो सरल होकर $\alpha - 1 - 2\beta - 6 = 0$ या $\alpha - 2\beta = 7$ हो जाता है।साथ ही,रेखा $PP'$ समतल के लंबवत है,इसलिए $PP'$ के दिक-अनुपात समतल के अभिलंब के समानुपाती होते हैं: $\frac{\alpha - (-1)}{1} = \frac{\beta - 3}{-2} = \frac{\gamma - 4}{0} = \lambda$.$\frac{\gamma - 4}{0} = \lambda$ से,हमें $\gamma = 4$ प्राप्त होता है।$\alpha + 1 = \lambda$ और $\beta - 3 = -2\lambda$ से,हमें $\alpha = \lambda - 1$ और $\beta = -2\lambda + 3$ प्राप्त होता है।$\alpha - 2\beta = 7$ में मान रखने पर: $(\lambda - 1) - 2(-2\lambda + 3) = 7 \Rightarrow \lambda - 1 + 4\lambda - 6 = 7 \Rightarrow 5\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = \frac{14}{5}$.अतः $\alpha = \frac{14}{5} - 1 = \frac{9}{5}$ और $\beta = -2(\frac{14}{5}) + 3 = -\frac{28}{5} + \frac{15}{5} = -\frac{13}{5}$.प्रतिबिंब $(\frac{9}{5}, -\frac{13}{5}, 4)$ है। चूंकि यह विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

समतल $x - 2y = 0$ में बिंदु $(-1, 3, 4)$ का प्रतिबिंब क्या है?

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