समाकलन int sec^{frac{2}{3}} x cdot operatorna | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \sec^{\frac{2}{3}} x \operatorname{cosec}^{\frac{4}{3}} x \, dx$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int \frac{1}{\cos^{\f

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$-3(	an x)^{-\frac{1}{3}} + c$

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(D) माना $I = \int \sec^{\frac{2}{3}} x \operatorname{cosec}^{\frac{4}{3}} x \, dx$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int \frac{1}{\cos^{\frac{2}{3}} x \sin^{\frac{4}{3}} x} \, dx$. अंश और हर को $\cos^{\frac{4}{3}} x$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{1}{\left(\frac{\sin^{\frac{4}{3}} x}{\cos^{\frac{4}{3}} x}ight) \cdot \cos^{\frac{2}{3}} x \cdot \cos^{\frac{4}{3}} x} \, dx = \int \frac{1}{(	an x)^{\frac{4}{3}} \cdot \cos^2 x} \, dx$. चूँकि $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$,इसलिए: $I = \int \frac{\sec^2 x}{(	an x)^{\frac{4}{3}}} \, dx$. माना $t = 	an x$,तो $dt = \sec^2 x \, dx$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int t^{-\frac{4}{3}} \, dt = \frac{t^{-\frac{4}{3} + 1}}{-\frac{4}{3} + 1} + c = \frac{t^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} + c = -3t^{-\frac{1}{3}} + c$. $t = 	an x$ वापस रखने पर: $I = -3(	an x)^{-\frac{1}{3}} + c$.

समाकलन $\int \sec^{\frac{2}{3}} x \cdot \operatorname{cosec}^{\frac{4}{3}} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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