यदि int(2x+4)sqrt{x-1} , dx = a(x-1)^{frac{5} | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int(2x+4)\sqrt{x-1} \, dx$ है। $x-1 = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = t^2+1$ और $dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है। समाकलन में इन मानो

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$\frac{24}{5}$

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(C) माना $I = \int(2x+4)\sqrt{x-1} \, dx$ है। $x-1 = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = t^2+1$ और $dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है। समाकलन में इन मानों को रखने पर: $I = \int(2(t^2+1)+4) \cdot t \cdot (2t) \, dt$ $I = \int(2t^2+2+4) \cdot 2t^2 \, dt$ $I = \int(2t^2+6) \cdot 2t^2 \, dt$ $I = \int(4t^4 + 12t^2) \, dt$ पद-दर-पद समाकलन करने पर: $I = 4 \int t^4 \, dt + 12 \int t^2 \, dt$ $I = 4 \cdot \frac{t^5}{5} + 12 \cdot \frac{t^3}{3} + c$ $I = \frac{4}{5}t^5 + 4t^3 + c$ अब $t = (x-1)^{\frac{1}{2}}$ वापस रखने पर: $I = \frac{4}{5}(x-1)^{\frac{5}{2}} + 4(x-1)^{\frac{3}{2}} + c$ दिए गए रूप $a(x-1)^{\frac{5}{2}} + b(x-1)^{\frac{3}{2}} + c$ से तुलना करने पर,हमें $a = \frac{4}{5}$ और $b = 4$ प्राप्त होता है। अतः,$a+b = \frac{4}{5} + 4 = \frac{4+20}{5} = \frac{24}{5}$।

यदि $\int(2x+4)\sqrt{x-1} \, dx = a(x-1)^{\frac{5}{2}} + b(x-1)^{\frac{3}{2}} + c$ है,(जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है),तो $a+b$ का मान क्या है?

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यदि $\int \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}+4e^x+13}} dx = \log \left|e^{ax}+2+\sqrt{e^{2x}+4e^x+13}\right|+c$ है,(जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है),तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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