$x > 0$ માટે વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x e^x \cdot x^{-1/2} \log x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો:

ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ શોધો,જો આપેલ હોય કે વક્રના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ તે બિંદુના યામોના સરવાળા જેટલો છે.

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+2y=\sin(2x)$ નો ઉકેલ હોય અને $y(0)=\frac{3}{4}$ હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{8}\right)$ ની કિંમત શોધો:

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+\frac{4x}{x^2-1}y=\frac{x+2}{(x^2-1)^{5/2}}$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $x > 1$,અને $y(2)=\frac{2}{9}\log_e(2+\sqrt{3})$ તથા $y(\sqrt{2})=\alpha\log_e(\sqrt{\alpha}+\beta)+\beta-\sqrt{\gamma}$,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma \in N$,તો $\alpha\beta\gamma$ ની કિંમત $........$ થાય.

કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $\alpha$ અને $\beta$ માટે,ધારો કે $y_{\alpha, \beta}(x), x \in R$,એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+\alpha y=x e^{\beta x}, y(1)=1$ નો ઉકેલ છે. ધારો કે $S=\{y_{\alpha, \beta}(x): \alpha, \beta \in R\}$. તો નીચેનામાંથી કયા વિધેયો ગણ $S$ માં સમાવિષ્ટ છે?

વિકલનીય વિધેય $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ માટે,ધારો કે $f^{\prime}(x)=3 f(x)+\alpha$,જ્યાં $\alpha \in \mathbb{R}, f(0)=1$ અને $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=7$. તો $9 f\left(-\log _{e} 3\right)$ ની કિંમત ............ થાય.