x 0 के लिए अवकल समीकरण x frac{dy}{dx} + y l | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x e^x \cdot x^{-1/2} \log x$ है। दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $

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$e^{\frac{1}{2}(\log x)^2}$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x e^x \cdot x^{-1/2} \log x$ है। दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + y \frac{\log x}{x} = e^x \cdot x^{-1/2} \log x$. यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{\log x}{x}$ और $Q = e^x \cdot x^{-1/2} \log x$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{\log x}{x} dx}$ द्वारा दिया जाता है। मान लीजिए $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$। अतः,$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\log x)^2}{2}$। इसलिए,$IF = e^{\frac{(\log x)^2}{2}} = (e^{\log x})^{\frac{1}{2} \log x} = x^{\frac{1}{2} \log x}$।

$x > 0$ के लिए अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x e^x \cdot x^{-1/2} \log x$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए:

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माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}(1 + xy^2(1 + \log_e x))$ का हल वक्र है,जहाँ $x > 0$ और $y(1) = 3$ है। तो $\frac{y^2(x)}{9}$ का मान ज्ञात कीजिए:

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