वक्र y = int_{0}^{x} |t| dt, x in R के स्पर्श | vedclass

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Question

(A) दिया गया वक्र $y = \int_{0}^{x} |t| dt$ है। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = |x|$ है।चूंकि स्पर्श रेखा $y = 2x$

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$\pm 1$

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(A) दिया गया वक्र $y = \int_{0}^{x} |t| dt$ है। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = |x|$ है।चूंकि स्पर्श रेखा $y = 2x$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $2$ होनी चाहिए। अतः,$|x| = 2$,जिससे $x = 2$ या $x = -2$ प्राप्त होता है।$x = 2$ के लिए,$y = \int_{0}^{2} |t| dt = \int_{0}^{2} t dt = [\frac{t^2}{2}]_{0}^{2} = 2$। बिंदु $(2, 2)$ है।$(2, 2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 2 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 2$ है। $y = 0$ रखने पर,$2x = 2$,अतः $x = 1$ प्राप्त होता है।$x = -2$ के लिए,$y = \int_{0}^{-2} |t| dt = \int_{0}^{-2} (-t) dt = [-\frac{t^2}{2}]_{0}^{-2} = -2$। बिंदु $(-2, -2)$ है।$(-2, -2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - (-2) = 2(x - (-2)) \Rightarrow y + 2 = 2x + 4 \Rightarrow y = 2x + 2$ है। $y = 0$ रखने पर,$2x = -2$,अतः $x = -1$ प्राप्त होता है।अतः,$x$-अक्ष पर अंतःखंड $\pm 1$ हैं।

वक्र $y = \int_{0}^{x} |t| dt, x \in R$ के स्पर्श रेखाओं द्वारा $x$-अक्ष पर बनाए गए अंतःखंड,जो रेखा $y = 2x$ के समानांतर हैं,किसके बराबर हैं?

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यदि वक्र $y = \frac{x}{x^2-3}$,$x \in R, (x \neq \pm \sqrt{3})$ पर स्थित बिंदु $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$ पर स्पर्श रेखा,रेखा $2x + 6y - 11 = 0$ के समांतर है,तो

वक्र $x = a(\cos t + \log \tan(t/2)), y = a \sin t$ के लिए स्पर्शरेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

यदि वक्र $y^2 = ax^3 + b$ पर बिंदु $(2,3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y = 4x - 5$ है,तो $a^2 + b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

वक्र $2y = 3 - x^2$ के बिंदु $(1, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।

वक्र $y=x \log x$ के अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए जो $2x-2y+3=0$ के समांतर है।

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