n का सबसे बड़ा मान, जिसके लिए 40^n, 60! को वि | vedclass

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Question

(D) हमें $n$ का वह सबसे बड़ा मान ज्ञात करना है जिसके लिए $40^n$, $60!$ को विभाजित करता है। $40^n = (2^3 	imes 5)^n = 2^{3n} 	imes 5^n$. लेजेंड्रे के

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$14$

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(D) हमें $n$ का वह सबसे बड़ा मान ज्ञात करना है जिसके लिए $40^n$, $60!$ को विभाजित करता है। $40^n = (2^3 	imes 5)^n = 2^{3n} 	imes 5^n$. लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हुए, $m!$ में अभाज्य संख्या $p$ का घातांक $E_p(m!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{m}{p^k} floor$ है। $p=2$ के लिए: $E_2(60!) = \lfloor \frac{60}{2} floor + \lfloor \frac{60}{4} floor + \lfloor \frac{60}{8} floor + \lfloor \frac{60}{16} floor + \lfloor \frac{60}{32} floor = 30 + 15 + 7 + 3 + 1 = 56$. $p=5$ के लिए: $E_5(60!) = \lfloor \frac{60}{5} floor + \lfloor \frac{60}{25} floor = 12 + 2 = 14$. हमें $3n \le 56$ और $n \le 14$ की आवश्यकता है। $3n \le 56$ से, हमें $n \le \lfloor \frac{56}{3} floor = 18$ प्राप्त होता है। $n \le 14$ से, सीमित मान $n = 14$ है।

$n$ का सबसे बड़ा मान, जिसके लिए $40^n$, $60!$ को विभाजित करता है, है

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