वह न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक n ज्ञात कीजिए जिस | vedclass

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Question

(C) दी गई अभिव्यक्ति $1 - \left( \frac{2}{3} + \frac{2}{3^2} + \dots + \frac{2}{3^{n-1}} \right) < \frac{1}{100}$ है।कोष्ठक के अंदर का पद एक गुणोत्तर

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$6$

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(C) दी गई अभिव्यक्ति $1 - \left( \frac{2}{3} + \frac{2}{3^2} + \dots + \frac{2}{3^{n-1}} \right) कोष्ठक के अंदर का पद एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{2}{3}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है,जिसमें कुल $(n-1)$ पद हैं।गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_{n-1} = a \frac{1 - r^{n-1}}{1 - r} = \frac{2}{3} \frac{1 - (1/3)^{n-1}}{1 - 1/3} = \frac{2}{3} \frac{1 - (1/3)^{n-1}}{2/3} = 1 - \frac{1}{3^{n-1}}$ होता है।इस मान को असमिका में रखने पर: $1 - (1 - \frac{1}{3^{n-1}}) $\Rightarrow \frac{1}{3^{n-1}} $\Rightarrow 3^{n-1} > 100$.हम जानते हैं कि $3^4 = 81$ और $3^5 = 243$ होता है।अतः,$n-1$ का मान कम से कम $5$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $n-1 \ge 5$,यानी $n \ge 6$.इस प्रकार,न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $n$ का मान $6$ है।

वह न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $n$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $1 - \frac{2}{3} - \frac{2}{3^2} - \dots - \frac{2}{3^{n-1}} < \frac{1}{100}$ हो।

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